2026年11月1日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
渋谷教育学園幕張中学校・2024年度 一次 算数
5大問を全問解説。どのカードでも成り立つ条件を整理し、タイルの列を素数で捉え直します。相似と展開図では、長さ・高さ・面積・体積のどの比を使うかまで示します。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜二つの袋へのカードの入れ方
この大問で学ぶこと
どの組を取り出しても成り立つ条件へ直す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜一枚と三枚で積を10の倍数にする
4通り
- 1〜9で5の倍数は5だけです。どの組でも積が10の倍数になるには、一方の袋が5だけ、もう一方が2・4・6・8の中から選んだカードでなければなりません。
- A一枚・B三枚なので、Aは5、Bは偶数四枚から三枚を選びます。入れない偶数を選ぶ四通りです。
（2）｜両方一〜四枚で積を10の倍数にする
30通り
- 5だけを入れる袋をAかBかで二通り選びます。もう一方には偶数四枚の空でない部分集合を入れます。
- 偶数の選び方は一枚4通り、二枚6通り、三枚4通り、四枚1通りで15通り。袋の役割二通りを掛けて30通りです。
（3）｜AがBより必ず6以上大きい
17通り
- 条件は、Aの最小値がBの最大値より6以上大きいことです。Bの最大値は1・2・3のどれかです。
- Bの最大が1ならBは一通り、Aは7・8・9から空でない選び方で七通りです。Bの最大が2ならBは（2）（1,2）の二通り、Aは8・9から三通りで計六通りです。
- Bの最大が3なら、3を必ず含み1・2を入れるか選ぶ四通りで、Aは9だけです。合計7＋6＋4＝17通りです。
| Bの最大 | Bの選び方 | Aの選び方 | 積 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 7 | 7 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 1 | 4 |
第2問｜分割できないタイルと立体の列
この大問で学ぶこと
素数二つの積から、素数三つの積へ進む
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）①｜左から七番目の面積
21cm²
- 残るタイルは、縦・横がどちらも素数のものです。一方が合成数なら、その辺を素数の長さに区切り、同じ小タイルを並べて作れるため除かれます。
- 残る面積を小さい順に並べると4・6・9・10・14・15・21です。七番目は3×7＝21cm²です。向きや同じ面積の重複を別の順番として数えません。
（1）②｜60cm²以下に残る枚数
21枚
- 小さい方の素数が2なら、相手は2・3・5・7・11・13・17・19・23・29で十枚です。3なら、相手は3・5・7・11・13・17・19で七枚です。
- 5なら、相手は5・7・11で三枚。7なら7だけで一枚です。11以上どうしは60を超えるため、10＋7＋3＋1＝21枚です。
| 小さい方の辺 | 面積cm² |
|---|---|
| 2 | 4, 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58 |
| 3 | 9, 15, 21, 33, 39, 51, 57 |
| 5 | 25, 35, 55 |
| 7 | 49 |
（2）｜左から十番目の立体の体積
45cm³
- どの面も残ったタイルにするには、直方体の三辺がすべて素数でなければなりません。同じ三辺の向き違いは区別しません。
- 三つの素数の積を小さい順に並べると8・12・18・20・27・28・30・42・44・45です。十番目は3×3×5＝45cm³です。
第3問｜体積が等しい二円柱と注水
この大問で学ぶこと
高さの比から、底面積と空いた断面積を出す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜容器Cと円柱Aの底面積の比
10倍
- 円柱Aの底面積をs、高さを3hとすると、同体積のBは高さh、底面積3sです。容器の底面積をcとすると、最初は空きがc−4s、高さhまで12秒、次は空きがc−s、高さ2hを36秒で上がります。
- 水量が同じ割合で増えるので、（c−4s）h：（c−s）2h＝12：36です。3（c−4s）＝2（c−s）よりc＝10s。従って10倍です。
（2）｜グラフの二つの高さ
ア＝25cm、イ＝8と1/3 cm
- イはBの高さh、アはAの高さ3hです。12〜48秒の36秒で、空いた底面積9sの所を2h上がるので、毎秒の水量は18sh÷36＝sh/2です。
- 48〜60秒の12秒では、Aも水面より下になり空きは10sです。入る水量6shは、10s×（30−3h）に等しいので、6h＝300−30h、h＝25/3です。
- イ＝25/3＝8と1/3cm、ア＝3h＝25cmです。グラフの曲がり方は、円柱B、Aの順に上面が水面へ入ることを表します。
第4問｜円にできる星形と相似
この大問で学ぶこと
等しい弧から対称性と平行を見つける
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜FGの長さ
0.5cm
- 弧の等しさから図は左右対称で、AC＝AD＝4、AF＝AG＝1です。円周角から三角形ABFとECFが相似になるので、AF：EF＝BF：CFです。
- CF＝4−1＝3、EF＝2よりBF＝3/2＝1.5cmです。左右対称なのでGE＝BF＝1.5cm。FG＝FE−GE＝2−1.5＝0.5cmです。
（2）｜HIとICの比
4：7
- BEとCDは平行です。三角形AFGとACDの相似比は1：4なので、CD＝0.5×4＝2cmです。BE＝BF＋FE＝3.5cm、GE＝1.5cmです。
- 三角形HGEとHDCの相似からEH：HC＝GE：CD＝3：4。従ってEHはECの3/7です。三角形IBEとIDCの相似からEI：IC＝BE：CD＝7：4なので、EIはECの7/11です。
- HIはECの7/11−3/7＝16/77、ICは4/11＝28/77です。従ってHI：IC＝16：28＝4：7です。
（3）｜中央の五角形の面積比
三角形AFGの5と50/77倍
- 三角形AFGの面積をS、AからBEまでの高さをhとします。AからCDまでの高さは4hです。BE：CD＝7：4なので、IからBEとCDまでの高さも7：4です。両平行線の間は3hだから、IからBEまでは21h/11、AIの高さ全体は32h/11です。
- AIは左右対称の軸でFGを二等分します。三角形AGIは、三角形AFGに対し、高さの比32/11と、横幅の比1/2を掛けて16S/11です。
- またHG：HD＝3：4、GD＝3なので、HG＝9/7、AH＝1＋9/7＝16/7。底辺をAGからAHへ伸ばすと、三角形AHIの面積は（16/11）×（16/7）S＝256S/77です。
- 五角形FGHIJは、左右の三角形AHI・AJIの合計から三角形AFGを除いたものです。面積は（256/77×2−1）S＝435S/77。従って5と50/77倍です。
第5問｜折り込む展開図と二通りの立体
この大問で学ぶこと
外へふくらむ部分と内へ折る部分を比較する
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）｜立方体の角を内側へ折る
207cm³
- 元の立方体は一辺6cmなので、体積は216cm³です。点線の三つの角の三角形は、組み立てると同じ頂点の周りに集まります。直角に交わる三辺が3cmの三角すいの体積は3×3÷2×3÷3＝4.5cm³です。
- この三角すいを切り落とすだけなら4.5cm³の減少ですが、今回は面を内側へ折り込みます。元の角がなくなる分と、内側へくぼむ分の二つを除くので、216−4.5×2＝207cm³です。
（2）｜二種類の立体の体積差
85と1/3 cm³
- 四枚の正三角形は、正方形を底面とする一つの角すいを作ります。正三角形の一辺は、4cm角の正方形の対角線なので、その二乗は32です。角すいの底面積は32cm²、底面中心から底面の頂点までの距離は4cmです。
- 側辺の二乗32から中心〜底面頂点の二乗16を引くと、高さの二乗は16なので高さ4cm。この小さい角すいの体積は32×4÷3＝128/3cm³です。
- 二種類の組立ては、この角すいが外へふくらむ形と、もう一方の角すいの中へ折り込まれる形です。体積差は小角すい二個分で、128/3×2＝256/3＝85と1/3cm³です。9cmの側辺を持つ大きい側の高さを具体的に求める必要はありません。
（3）｜台形と正三角形の二種類の組立て
大きいC：小さいD＝8：7
- 四枚の台形の平行な辺は18cmと12cmで、上下の斜めの辺は正三角形の一辺6cmです。上下に同じだけ張り出すので、中央の高さ12cmの柱体から上・下へ出る高さは（18−12）÷2＝3cmです。
- 中央の水平断面はひし形です。正三角形二枚を合わせる折り目を、長い縦辺の端どうしに取るか、短い縦辺の端どうしに取るかで、二種類ができます。水平断面のひし形は向きが入れ替わるだけなので、共通の面積をSとします。
- 長い辺どうしを結ぶ場合、上部を二つに分けた三角形の頂点の高さは3・3・0cmです。それぞれは高さ3cmの三角柱から三角すい一個を引く形で、二つ合わせた体積は2Sです。下部も2Sなので、全体は12S＋2S＋2S＝16Sです。
- 短い辺どうしを結ぶ場合、各三角形の頂点の高さは0・0・3cmで、上部は二つの三角すいとなり合計S、下部もSです。全体は12S＋S＋S＝14S。従って16：14＝8：7です。
| 部分 | 大きい立体C | 小さい立体D |
|---|---|---|
| 中央の柱体 | 12S | 12S |
| 上部 | 2S | S |
| 下部 | 2S | S |
| 合計 | 16S | 14S |
解き直しの進め方
「どれを取り出しても」は最小値・最大値や、必要な因数へ置き換えます。,同じ形を並べる問題は、素因数と重複する向きを確かめます。,展開図は、外形だけでなく面を内側へ折る可能性も立体で確かめます。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
志望校の過去問を、次の学習計画へ
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