2019年12月26日
【予習シリーズ5年下 第16〜18回】算数攻略ガイド
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目次
1. はじめに：5年下巻の山場「比の応用」を使いこなす
5年生下巻の後半戦である第16回〜第18回は、これまで学習してきた「比」の概念を、食塩水・立体図形・速さといった様々な単元に落とし込んでいく応用期間です。新カリキュラムでは、この時期に「いかに比をツールとして使いこなせるか」が、6年生に向けた大きな分かれ道となります。
ここからの算数は、「比を使わなくてもゴリ押しで解ける問題」と「比を使わないと絶対に解けない問題」が混在してきます。普通に計算しても解ける問題であっても、「あ、これは比を使えばもっと早く簡単に解けるな」と実感し、柔軟に解法を切り替えるセンスを養っていきましょう。
2. 【第16回】濃さと比（天秤図の習得と比の落とし込み）
上巻第6回で学習した「濃さ（食塩水）」に、比の概念を融合させる単元です。「速さ×時間＝道のり」や「底面積×深さ＝体積」で比を活用したのと同じように、「食塩水の重さ×濃さ＝食塩の重さ」にも比を当てはめていきます。
偏差値帯に合わせた「比」の取り入れ方
例題1や例題2のような基本問題は、実は上巻のやり方（普通の計算）のままでも十分に解けます。比の感覚がまだ鋭くない生徒が無理に比を使おうとすると混乱するため、偏差値55〜60を目指す段階までは無理に比を強制しなくても構いません。
しかし、例題3以降は比を使わざるを得ない問題が登場します。ここでは速さや水量の時と同じように、比を「逆比」などにして面積図に落とし込む練習が必須となります。
「面積図」から最強のツール「天秤図」へ移行する
💡 混ぜる問題は「天秤図」で圧倒的なスピードを手に入れる
食塩水を混ぜる問題では、これまで面積図を使って「出っ張りを凹みに移す」というやり方をしてきました。面積が同じなら縦と横は「逆比」になります。
この回を機に、面積図をさらに洗練させた「天秤図（てんびんず）」をぜひマスターしてください。腕の長さ（濃さの差）と重さ（食塩水）が逆比になるという天秤の性質を使うことで、計算スペースを大幅に減らし、一瞬で答えを導き出すことができます。
天秤図は食塩水だけでなく、「男子と女子の平均点の混合」や「温度の違う水の混合（理科）」など、「混ぜて平均化する」すべての問題に応用できる最強のツールです。
3. 【第17回】色々な立体の求積（投影図・穴あき立体・パップス・ギュルダンの定理）
4年生から続いてきた立体図形単元の総決算です。投影図の見方や、積み木のくり抜きなど、解法にまとまりがないように見えますが、実は「やり方が決まっている定番問題」のオンパレードです。
穴あき立体の表面積：偏差値に合わせた「2つの解法」
立方体にトンネルのような穴を開ける問題（例題3・4）は難関校でもよく出題されます。体積は1段目、2段目…とスライスして数える定番のやり方で対応できますが、厄介なのは「表面積」です。テキストの解説には2通りの方法が載っています。
- 解法1（全体から引いて足す）： くり抜いた立体を自分で描き、減った面積と増えた面積を計算する方法。計算は早いですがミスが出やすく、難問（穴が三角形など）に強いです。
- 解法2（1cmのブロックとして考える）： 例題3と同じように、小さなブロックがどう減ったかを数える方法。偏差値55未満の場合は、ミスが少ないこちらの解法2を強く推奨します。
回転体の裏ワザ「パップス・ギュルダンの定理」
💡 偏差値60以上を目指すなら知っておきたい公式
回転体の体積は、基本的には「大きな円柱（円すい）から小さなものを引く」という相似を利用した計算で求めますが、難関校を目指すなら「パップス・ギュルダンの定理」を知っておくと非常に有利です。
回転体の体積 ＝ 回転させる図形の面積 × その図形の重心が移動した距離（円周）
この定理を知っているだけで、例えば「円を回転させてできるドーナツ型（トーラス）の体積」などを、複雑な計算なしに一発で導き出すことができます。
4. 【第18回】色々な速さの問題（流水・通過・時計算と比の融合）
「流水算」「通過算」「時計算」といった、これまで学習してきた速さの特殊算の総復習です。新しい概念を学ぶというよりは、「これらも『比』を使えばもっと簡単に解ける」ということを実感するための回です。
まずは基本の解き方、次に「比」でのアプローチ
流水算の上り・下り・流れの速さの出し方や、時計算の長針と短針の動く角度など、まずは基本の知識が抜けていないかを確認してください。その上で、「比を使わなくても解けるけど、比を使ったらもっと計算が楽になった！」という体験を重ねることが重要です。
通過算は「お絵かき」で先頭の動きを追う
💡 電車は「点」にして図を整理する
トンネルや鉄橋を通過する「通過算」は、頭の中だけで計算すると「電車の長さ」を足し忘れたり引き忘れたりします。必ずノートにトンネルと電車の簡単なイラストを描き、「電車の先頭に印（点）をつけて、その点がどれだけ進んだか」を作図して視覚化する癖を徹底してください。
5. まとめ・解説動画（タイムスタンプ付き）
5年下巻の第16回〜第18回は、「比」という強力な武器を様々なジャンルで使いこなすための実践演習です。濃さにおける「天秤図」、立体図形における「穴あき立体のブロック数え」や「パップス・ギュルダンの定理」、そして速さへの比の応用。新しいツールを手に入れることで、これまでの複雑な計算が驚くほどシンプルになる感覚をぜひ掴んでください！
📺 動画インデックス：各回の算数解説へ直行
以下の表の「▶ 再生開始」ボタンをクリックすると、動画内の該当の解説が始まる秒数から直接再生されます。
| 学習回 | 主なテーマ | 解説を再生する |
|---|---|---|
| 第16回 | 濃さと比（面積図から天秤図への移行・比の落とし込み） | ▶ 再生開始 (1:14〜) |
| 第17回 | 色々な立体の求積（穴あき立体・パップスギュルダンの定理） | ▶ 再生開始 (1:12〜) |
| 第18回 | 色々な速さの問題（流水・通過・時計算への比の活用） | ▶ 再生開始 (1:09〜) |
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