聖光学院中学校 2026年度 第1回 算数の全問解説

答え7と1/8

右辺に1と5/12を足すと、割り算の答えは3/2＋17/12＝35/12です。したがって、かっこの中は25/6÷35/12＝10/7。ここから3/4を引くと19/28なので、空欄は19/28÷2/21＝57/8＝7と1/8です。

答え1,600通り

分子をnとすると、分母は2nより大きい整数です。分子10なら分母21～99で79通り、分子11なら77通りと2通りずつ減り、分子49で1通りです。分子が50以上の場合は条件を満たす分母がありません。79から1までの奇数40個の和は（79＋1）×40÷2＝1,600です。

答え7：2

駅から学校までをDとし、折り返しのたびに道を鏡写しに延ばして、2人の道のりを直線で考えます。すれ違いは道のりの和がD、3D、5D、…のときで、間隔は一定です。問題に出てくる次のすれ違いは最初から14＋21＝35分後です。途中にもすれ違いがあれば間隔は35÷2以下となり、追い越しから次のすれ違いまで21分という条件に合いません。よって間隔は35分で、最初のすれ違いは17.5分後です。初めての追い越しは道のりの差がDとなるときで、出発から31.5分後。速さの和：差は31.5：17.5＝9：5なので、求める比は（9＋5）：（9−5）＝7：2です。

答え7と13/41％

商品Aを100gとすると、Xは5g、Yは95gです。BのXは7.5gでYは95gのままなので、全体は102.5g。7.5÷102.5×100＝300/41％です。

答え1と20/37倍

今度はBのXの割合が7.5％なので、BのX：Yは7.5：92.5＝3：37です。YはA、Bとも95gです。BのXは95×3/37 gで、AのXは5gですから、重さの比は（95×3/37）÷5＝57/37倍です。

答え1と1/42倍

AとBをともに100gとし、Yを1g作る費用を1とします。AはXが5g、Yが95gなので費用は5×2＋95＝105。BはXが7.5g、Yが92.5gなので費用は7.5×2＋92.5＝107.5です。求める倍率は107.5÷105＝43/42倍です。

答え3人がけ36脚、4人がけ30脚

4人がけをb脚とすると、3人がけは（228−4b）÷3脚です。228が3の倍数なのでbも3の倍数です。3人がけのほうが多い条件から228＞7b、つまりbは32以下です。椅子の総数は（228−b）÷3なので、bを最大の30にすると最小になり、3人がけは36脚です。

答え3人がけ21脚、4人がけ19脚、5人がけ18脚

すべて4人がけだと仮定すると、3人がけ1脚につき席が1つ減り、5人がけ1脚につき1つ増えます。3人がけは5人がけより少なくとも2脚多いので、N脚で用意できる席は最大でも4×N−2。57脚なら226席以下で足りません。58脚では4×58−229＝3から3人がけと5人がけの差は3脚です。21、19、18脚なら大小関係を満たし、席数も63＋76＋90＝229です。

答え例：3人がけ19脚、5人がけ15脚、7人がけ14脚

最少の脚数をmとし、まず各種類をm脚ずつそろえると15m席です。差が4脚以下なら残りは最大でも7×4＋5×3＝43席で、mは13、14、15のいずれか。残りは順に35、20、5席です。中間と最大の脚数がmよりe、d脚多いとすると、0＜e＜d≦4です。（e、d）＝（1、2）、（1、3）、（2、3）、（1、4）、（2、4）、（3、4）の各組で、3・5・7のうち異なる2種類を掛けて足しても35、20、5のどれにもなりません。一方、19、15、14脚なら57＋75＋98＝230席で差は5脚です。よって最小の差は5脚です。

答え7.5 cm²

元の辺上でABから下へh cmの点を追います。水平な折り目で折るので左右の位置は変わらず、片側の横幅はhの変化の3/4です。最終の深さは、元のhが0、2、3、4の点で順に0、2、1、2 cmとなり、間は直線です。片側でできる三角形・台形を足し、左右2倍して、（2×2÷2＋（2＋1）×1÷2＋（1＋2）×1÷2）×3/4×2＝7.5 cm²です。

答え周の長さ16 cm、面積1/2 cm²

1回目で深さは0から8/3 cmまでの範囲に収まります。以後はその時点の最大の深さの半分で折るので、毎回、深さ0と新しい最大値を往復する折れ線になります。最後は深さ0と1/6 cmを往復し、元の深さhが1/6 cm増すごとに0と1/6 cmが入れ替わります。ABの両端から中央まで、それぞれがこの直線区間に分かれ、どの区間も平均の高さは1/12 cmです。面積は6×1/12＝1/2 cm²。元の2辺の横方向の位置は折っても変わらず、折れ線はABより下に収まるので、周は6＋5＋5＝16 cmです。

答え3と57/128 cm²

ABより上に出た部分も面積に数えます。元の深さhで区切ると、2～4の範囲には高さ2、横幅に換算する前の底辺2の三角形が残ります。0.5～1.5にも2回目でABより上に出た、底辺1、高さ1/2の三角形が残ります。残る0～0.5と1.5～2では、3回目の折り返しによって、それぞれ底辺1/4・高さ1/8の三角形1つと、底辺1/8・高さ1/16の三角形2つができます。以上の面積の和は2＋1/4＋2×（1/64＋2×1/256）＝147/64。片側の横幅への換算3/4と左右2倍を掛けて441/128 cm²です。

答え120度

JIをIの先まで延ばし、IからJと同じ距離にKを取ります。IAとIKはどちらも、横に4 cm・上に4 cm移動する長さです。AとKは同じ高さで、水平方向に直角に4 cmずつ離れるので、AKも同じ長さです。三角形AIKは正三角形。AIJは60度の外角で120度です。

答え4 cm

以下、高さは底面EFGHから測ります。平面X上で、A、I、Jの高さは10、6、2 cmです。向かい合う側面での切り口の傾きは等しいので、XとDHの交点は高さ2＋4＝6 cmです。QはそこからC側へ0.8 cm、つまり高さ5.2 cmです。右側面で平面YはC（高さ10 cm）から3.2 cm進んで4.8 cm下がります。4 cm進んだRでは6 cm下がるので、RH＝10−6＝4 cmです。

答え2 cm

Pは辺ABの真下でIの位置からA側に0.8 cm進むので、平面X上で高さ6.8 cmです。平面Yの左側面での切り口は右側面のCRと平行です。PからBFまで0.8 cm戻ると高さが0.8×1.5＝1.2 cm上がり、Sの高さは8 cmです。BS＝10−8＝2 cmです。

答え外周と、手前の上辺を方眼に記入

横はCGからDHに向かう距離、縦は底辺GHからの高さとします。方眼で（0、0）→（0、6）→（0.8、6.8）→（3.2、5.2）→（4、4）→（4、0）→（0、0）を実線で結び、さらに（0、2）から（3.2、5.2）を実線で結びます。折れ点（0.8、6.8）と（3.2、5.2）はPとQです。右側面ではXの高さが2 cmから6 cmへ上がり、Yは10 cmから4 cmへ下がるので、手前の上辺は低いほうをつないでJ→Q→Rとなります。補助線を引くときは、左右の側面でのX、Yの切り口をそれぞれ端まで延ばすと、同じ傾きの線が2本ずつできます。

答え22.4 cm³

CJを含むのは平面Xより上、平面Yより下の部分です。真上から見た底面は台形BCQPで、2平面の高さの差はBで8−6＝2 cm、Cで10−2＝8 cm、PとQで0 cmです。対角線CPで分けると、三角形BCPの面積は4×0.8÷2＝1.6 cm²、三角形CPQの面積は4×3.2÷2＝6.4 cm²です。三角形の上で厚みが直線的に変化する立体の体積は、面積×3頂点の厚みの平均です。頂点1つの厚みだけを増やすと、その増分は面積を底面とする三角すいの体積になるためです。よって1.6×（2＋8＋0）÷3＋6.4×（8＋0＋0）÷3＝22.4 cm³です。