2026年11月4日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
早稲田大学高等学院中学部・2024年度 一般入試 算数
分数の計算・最安値・群数列・動点・正四角すいを扱います。点が重なる場合と直線が定まる場合、出発時と出発後を区別し、図の条件を最後まで使って考えましょう。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜計算・買い方・回転
この大問で学ぶこと
全体の条件を使って工夫する
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)① 分数の和
1/10
- それぞれ約分すると1/6−2/15＋3/35−8/77＋14/165です。
- 前2項は1/30、3/35−8/77＝−1/55なので、1/30−1/55＋14/165＝1/10です。
(1)② 逆算
12
- 分母は8−2÷(7÷6)＝44/7です。全体が1/3なので分子は44/21。
- 8/(7×□)＝44/21−2＝2/21より、7×□＝84、□＝12です。
(2) 100本の最安値
7390円
- 12本セット7個で84本、5本セット3個で15本、単品1本で100本になります。880×7＋380×3＋90＝7390円です。
- 12本セットを0〜8個で場合分けし、残りは5本セットをできるだけ使って比べます。12本セット0〜8個の場合の最安値は順に7600・7610・7550・7560・7500・7440・7450・7390・7400円で、最小7390円です。
(3) 三角形ABEが通る面積
32.97cm²
- 正七角形の外角は360/7度で、EFが直線に重なるまでの回転角も360/7度です。EA＝EB＝7cm、角AEB＝180/7度です。
- 2本の等しい半径EA・EBの動く範囲が重なるため、塗られる全体は中心E・半径7cm、角540/7度の扇形になります。
- 7²×3.14×(540/7)/360＝32.97cm²です。正七角形全体の面積を求める必要はありません。
第2問｜分数の群数列
この大問で学ぶこと
グループの前までの個数を数える
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) 100番目
17/27
- 第13グループまでで13×14÷2＝91個。100番目は第14グループの9番目です。
- 9番目の分子は2×9−1＝17、分母は3×9＝27なので17/27です。
(2) 第30グループの11/18
441番目
- 11/18はそのグループの6番目です。第29グループまでで29×30÷2＝435個なので、435＋6＝441番目です。
(3) 分母54が10回目に現れる位置
369番目
- 分母54は各グループの18番目で、第18グループから現れます。10回目は第27グループです。
- 第26グループまで26×27÷2＝351個、その18番目なので369番目です。約分しないという条件を使います。
第3問｜長方形を周回する3点
この大問で学ぶこと
頂点に着く時刻ごとに分ける
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1)① 37秒後の面積
58cm²
- Bを横0・縦0、Cを横20・縦0として位置を記録します。37秒後はP(14,0)、Q(0,3)、R(6,10)です。
- 長方形や三角形から余分を引くと、14×10÷2＋6×3÷2−(14×3÷2)＝58cm²です。
(1)② ABとPQが3回目に平行
170秒後
- Pの周期は30秒、Qは60秒です。PとQの横の位置が一致し、別々の点になる時刻は50・110・170秒です。
- 最初の50秒ではPは上辺、Qは下辺にあり、横の位置がどちらも10cmになります。同じ配置が60秒ごとに繰り返されます。
- 20秒にはPとQが同一点に重なり、直線PQが定まらないため平行の回数には含めません。頂点にいる時刻も設問の条件で除きます。
(2)① Rが毎秒4cmのときの最大面積
出発後では30秒後（出発時も最大）
- 長方形内の三角形の面積は、長方形の半分の100cm²を超えません。30秒後はPがB、QがA、RがDで、100cm²になります。
- 30秒より前に2点が長方形の1辺の両端に同時に来る候補を調べても、残る点が必要な反対辺へ来ないため、出発後で最初は30秒です。出発時にもB・C・Dの三角形が100cm²になる点は区別しておきます。
(2)② 4回目にADと平行になる時刻と面積
66秒後、60cm²
- 2点が左右の縦辺上にあり高さが同じになる時刻を調べると、6、85/3、175/3、66秒の順です。P・Rが頂点にいる時刻は除きます。
- 6秒ではQとRが高さ6cmで左右の縦辺、Pは下辺です。この配置は60秒後に戻ります。
- 66秒の三角形は底辺QR＝20cm、高さ6cmなので20×6÷2＝60cm²です。
第4問｜正四角すいを通る平面
この大問で学ぶこと
地面上の位置と高さの増加を対応させる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
(1) Jの真上の高さ
12m
- 西の壁からの距離をx m、北の壁からの距離をy mとします。Vは(1,1)で高さ6、Wは(2,6)で12、Xは(6,2)で12です。
- 同じ平面の高さは、西からも北からも1m離れるごとに1m上がり、壁の交点の真上では4mとなります。つまり高さはx＋y＋4。Jは(4,4)なので12mです。
(2) 辺YMとの交点の高さ
18m
- 図3のMは(4,4)、Yの真下は(8,8)で、高さ24mです。MからYへ進む割合をtとすると、横と縦はそれぞれ4＋4t、高さは24t。
- 平面の高さ12＋8tと一致するので24t＝12＋8t、t＝3/4。高さは24×3/4＝18mです。
(3)① 壁から等しく離れる位置
6m
- 辺MNと西壁の距離をa、辺MPと北壁の距離をbとします。頂点Yは地面上で(a＋4,b＋4)、高さ24です。
- 平面上にあるので24＝a＋4＋b＋4＋4、すなわちa＋b＝12。等しい場合はa＝b＝6mです。
(3)② 動く四角すいが通る体積
1280m³
- 壁から4m以上という条件からaは4〜8m、b＝12−aで8〜4mへ動きます。四角すいは東へ4m、北へ4mの斜め方向に平行移動します。
- もとの四角すいは8×8×24÷3＝512m³。移動で加わる部分は、底辺8m・高さ24mの三角形を、横方向に4m進めた三角柱2個分です。
- 512＋(8×24÷2×4)×2＝1280m³です。動きの長さだけを8mと足したり、底面の通過面積に高さをそのまま掛けたりしないようにします。
解き直しの進め方
群数列は前の群までの和、動点は頂点の時刻、空間の平面は地面上の位置と高さの関係を整理します。複数の場合がある問題では、条件に合わないものを除いた理由も説明してください。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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