2026年10月28日
SUSUMU JUKU / 2019 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
武蔵中学校・2019年度 2月1日入試 算数
全4大問を、答え・途中式・条件の読み取りから解説します。素数・約数・積に含まれる因数、角の等しい長方形と交点、5秒遅れで動く点と面積、6列の塗り方と周の長さを扱い、各大問の学習テーマと解き直しのポイントも整理します。
第1問｜素数・約数・積に含まれる因数
この大問で学ぶこと
約数の組と、積の中の31の個数を数える
約数の逆数の和は、元の数の約数の和を元の数で割った値です。大きい積を実際に作らず、31を何個含むかを倍数ごとに数えます。
解くときの着眼点：数を列挙してから、素因数へ分けます。
(1)ア・イ
答え：ア11、イ160
- 31以下の素数は2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31です。
- 31は11番目、和は160です。
間違えやすい点：1を素数に含めません。
(1)ウ・エ
答え：ウ12、エ189/80（2と29/80）
- 160＝2⁵×5なので、約数は(5＋1)(1＋1)＝12個です。
- 約数の和は(1＋2＋4＋8＋16＋32)(1＋5)＝63×6＝378。逆数の和は378/160＝189/80です。
間違えやすい点：約数を160で割ると、逆の順の約数の逆数に対応します。
(2)
答え：333回目
- 1～10000には31の倍数が322個、31²＝961の倍数が10個あります。31³は10000を超えます。
- 31の因数は合計332個なので332回は割り切れ、333回目で初めて割り切れません。
間違えやすい点：961の倍数は31を2個以上含むので、追加で数えます。
第2問｜角の等しい長方形と交点
この大問で学ぶこと
辺の差と相似比から長さを決める
EからBCへ垂線を下ろすと、横の差はED－CFです。角の等しい2つの直角三角形を比べ、最後はEDとBFが平行な交点の相似を使います。
解くときの着眼点：角から、2つの直角三角形を相似にします。
(1)
答え：10/3（3と1/3）cm
- CFをx、長方形の高さをhとすると、EFの横の長さは8－x、GC＝5h/7です。
- 角の条件から、EFを斜辺とする直角三角形とGFCが相似で、(8－x)：h＝x：5h/7です。
- 8－x＝7x/5よりx＝10/3cmです。
間違えやすい点：ED8cmからCFを引いた長さが、EFの横の差です。
(2)
答え：8.4cm
- GFCの面積10cm²より、GC＝20÷(10/3)＝6cmです。
- GCはDCの5/7なので、DC＝6×7/5＝8.4cmです。
間違えやすい点：DG：GC＝2：5なので、全体は7です。
(3)
答え：25.6cm²
- BF＝14－10/3＝32/3cmです。EDとBFが平行なので、EDHとFBHの相似比は8：32/3＝3：4です。
- HのBCからの高さは8.4×4/7＝4.8cmです。
- BFHの面積は32/3×4.8÷2＝25.6cm²です。
間違えやすい点：Hの高さは長方形の半分ではありません。
第3問｜5秒遅れで動く点と面積
この大問で学ぶこと
折り返しの境目で式を分ける
アが平行四辺形になる条件はBP＝CQです。面積はBPとCQの和に比例するので、最小値は点の折り返しや出発の時刻を調べると求められます。
解くときの着眼点：BPとCQの長さを時刻ごとに表します。
(1)
答え：8秒後、20秒後
- 5～10秒後ではBP＝30－3t、CQ＝2(t－5)です。等しいとして30－3t＝2t－10よりt＝8です。
- 10～20秒後ではBP＝3(t－10)、CQ＝2(t－5)。等しいとして3t－30＝2t－10よりt＝20です。
間違えやすい点：Pは10秒後にBで折り返します。
(2)
答え：375cm²
- 8秒後はBP＝CQ＝6cmで、平行四辺形の面積75cm²なので高さは75÷6＝12.5cmです。
- 20秒後はBP＝CQ＝30cm。面積は30×12.5＝375cm²です。
間違えやすい点：2回目の底辺は1回目の5倍です。
(3)
答え：10秒後と50秒後、62.5cm²
- アの面積は(BP＋CQ)×12.5÷2です。点の折り返し時刻はPが10・20・30…秒、Qが25・45…秒です。
- BP＋CQの傾きが変わる5・10・20・25・30・40・45・50・60秒で値を調べると、最小は10秒後と50秒後の10cmです。
- 面積は10×12.5÷2＝62.5cm²です。
間違えやすい点：片方の点が端にあるだけでは、必ず最小になるとは限りません。
第4問｜6列の塗り方と周の長さ
この大問で学ぶこと
高さの和と、隣どうしの差を分ける
面積は6列の高さの和です。周の長さは、下辺6と上の横辺合計6に、左右の高さと隣の高さの差を足すと求まります。
解くときの着眼点：各列の高さを1・2・3で表します。
(1)
答え：18cm、20cm
- 17cm²は18cm²から1マスだけ欠けた状態です。
- 端の列を1低くすると周18cmのまま、内側の列を1低くすると段差2cmが増えて20cmです。
間違えやすい点：欠ける場所を端と内側に分けます。
(2)ア
答え：18cm、20cm、22cm、24cm
- 面積15は全て高さ3から合計3マス分減らします。
- 減らし方は、3列を1ずつ下げる場合と、1列を2・別の1列を1下げる場合です。
- 各並びの左右と隣との差を数えると、周は18・20・22・24cmです。
間違えやすい点：高さ0の列はルールに反するので作れません。
(2)イ
答え：6通り
- 24cmにするには、高さ1の列と高さ2の列を別々の内側の列に置き、間を少なくとも1列空けます。
- 内側の4位置から隣り合わない2位置を選ぶ3組に、高さ1・2の置き方2通りを掛け、6通りです。
間違えやすい点：高さ1と2を交換した配置は別のぬり方です。
(3)ア
答え：最大面積14cm²、最小面積12cm²の例
- 周の最大は26cmです。高さの例を左から書くと、面積最大は3・3・1・3・1・3で14cm²です。
- 面積最小は1・3・1・3・1・3で12cm²です。
- それぞれ各列を下からその高さだけぬれば、問題の作図になります。
間違えやすい点：この設問は周を最大にした中で、さらに面積を比較します。
(3)イ
答え：13通り
- 6列の高さはそれぞれ1～3なので729通りです。周は12＋左端＋右端＋隣の高さの差の合計で求めます。
- 周26cmになるのは、面積12が4通り、13が6通り、14が3通りです。
- 合計13通りです。
| 面積 | ぬり方 |
|---|---|
| 12cm² | 4通り |
| 13cm² | 6通り |
| 14cm² | 3通り |
間違えやすい点：左右反転も別の配置として数えます。
解き直しの進め方
素数の数え上げ、相似の対応、動点の時間区分、高さの差で表す周を、元の条件へ戻して確認しましょう。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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