2024年4月12日
SUSUMU JUKU / 2024 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
豊島岡女子学園中学校・2024年度 第1回 算数
全6大問を設問順に解説します。小問の割合から、速さの時間差、場合の数、図形の組み替え、立体の切断へ進みます。原問題の図に点や比を書き込みながら、各式の根拠を確認してください。
このページは問題冊子と一緒に読む解説です。問題文・原図の転載はせず、進塾独自の解説を掲載しています。
第1問｜計算・過不足・割合・数の配置
この大問で学ぶこと
繰り返し数える回数と割合の基準をそろえる
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
184
- 0.32＋2/5＝0.72、これを4/15で割ると2.7、さらに9.9で割ると3/11です。
- 2024÷3×3/11＝2024/11＝184です。
（2）
226本
- 3本配る場合の余り88本と5本配る場合の不足4本の合計92本が、1人当たり2本の違いに対応します。
- 人数は92÷2＝46人、鉛筆は3×46＋88＝226本です。
（3）
1200円
- Aの半分がBの40％なのでA：B＝4：5です。Bの2倍は比で10、Aとの差は6に当たり、それが1800円です。
- Aは1800÷6×4＝1200円です。
（4）
114
- 各丸が何個の小三角形の頂点になるか数えます。中央は6回、辺の途中の6か所は各3回、三つの頂点は各1回です。
- 合計を最小にするには、最も多く使う中央に1、6か所に2〜7、頂点に8〜10を置きます。
- 6×1＋3×（2＋3＋4＋5＋6＋7）＋8＋9＋10＝114です。
第2問｜水そう・得点・角度・辺の比
この大問で学ぶこと
条件を式にして共通する量を消す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
50L
- 容積をV LとするとAの毎分量はV/20、Bは1L、Cをc Lと置けます。
- 最初の条件からV/4＋18＋18c＝V、次から2V/5＋17＋12c＝Vです。第1式を2倍、第2式を3倍してCを消すと、3V/10＝15。よってV＝50Lです。
（2）
14通り
- 3点の回数を0・1・2・3回に分けます。残りを1点と2点で作る組合せは、それぞれ6・4・3・1通り。
- 合計6＋4＋3＋1＝14通りです。得点を取る順序は区別しません。
（3）
84度
- 正十角形の内角は144度。三角形BCDでBDとBCなどの関係から∠CDB＝18度、弧に対する円周角から∠DBJ＝108度です。
- BD＝BJで、二つの円の条件によりBK＝JK＝BD。三角形BJKは正三角形なので∠DBK＝108−60＝48度です。
- 二等辺三角形BDKの底角は66度。∠CDK＝18＋66＝84度です。
（4）
27/28cm
- 図の左右を横の長さ、高さをABCの高さを基準1として表します。B（0,0）、C（2,0）、A（1,1）、E（1,0）です。
- GはAC上でEG＝1。ABCの高さの2乗は3²−1²＝8なので、AC上の位置を計算するとG（16/9,2/9）になります。EからGの向きを2倍してF（23/9,4/9）、等しい二等辺三角形の頂点Dは（0,1）です。
- DF上の点をDからFへ比tで進むと（23t/9,1−5t/9）。AB上では横と高さの基準比が同じなので23t/9＝1−5t/9。t＝9/28で、DH＝3×9/28＝27/28cmです。
第3問｜3人の移動とすれ違い
この大問で学ぶこと
到着時刻が同じという条件を時間差に直す
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
6分前
- 花子と太郎の速さを3と2、ABの道のりをDとします。二人は出発してD/5後にCで出会い、ACは3D/5です。
- 豊子の速さをvとすると、豊子と花子のB到着が同時なのでD/v＝15＋D/3。
- 花子・太郎の出会いと豊子のC到着の差は15＋D/5−3D/（5v）。同時到着の式を使うと15−9＝6分です。
（2）
4：5
- 豊子がCを過ぎてから花子・太郎の出会いまで6分。その途中、花子・太郎の出会いの2分40秒前に豊子と太郎が出会います。
- 豊子がCから最初の出会いまで進む時間は3分20秒、太郎がその出会いからCまで進む時間は2分40秒。同じ道のりなので速さの比は2分40秒：3分20秒＝4：5です。
（3）
25と5/7分後
- 太郎の速さを5、花子を7.5、豊子を4とします。豊子は15分早く出発し、花子と同時にBへ着きます。
- 豊子の全所要時間をT分とすると4T＝7.5（T−15）。T＝225/7分、ABは900/7。
- 太郎の所要時間は（900/7）÷5＝180/7＝25と5/7分です。
第4問｜カードで作る整数
この大問で学ぶこと
最後のカードで分類して前の桁数につなぐ
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
19通り
- 末尾が1、2、13の場合を分けます。2の前には2を置けないため、末尾2の個数だけは直前が1または13の場合を足します。
- 1桁の状態は1・1・0、2桁は2・1・1、3桁は4・3・2、4桁は9・6・4。合計19通りです。
（2）
88通り
- 4桁の状態9・6・4から、5桁では19・13・9、6桁では41・28・19になります。
- 合計41＋28＋19＝88通り。13のカードは2桁分なので、末尾13は2桁前の合計を使います。
第5問｜角度を使った図形の組み替え
この大問で学ぶこと
等しい辺でつなぎ、面積をまとめて求める
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
4cm²
- ACとDEを合わせ、AとD、CとEが重なるように二つの三角形を反対側につなぎます。Aの105度とDの75度が180度になり、ABとDFが一直線になります。
- CとEの30度＋60度が90度で、残る両端は45度ずつ。全体は斜辺AB＋DF＝4cmの直角二等辺三角形です。
- 面積は斜辺の2乗÷4＝4²÷4＝4cm²です。
（2）
2cm²
- GIとJKを重ねG＝J、I＝Kとすると、Iの135度＋Kの45度が一直線になります。さらにJLとNOをJ＝N、L＝Oとしてつなぐと、Jの125度＋Nの55度も一直線になります。
- できる大きな三角形の角は15度・75度・90度で、斜辺はGH＋MN＝4cmです。
- この直角三角形では斜辺への高さは斜辺の1/4（反転した合同な三角形と組み合わせ、30度の直角三角形で確認できます）。高さ1cmなので、面積は4×1÷2＝2cm²です。
（3）
4cm²
- QRと正方形の1辺をa、PRをbとすると、30度の直角三角形なのでb²＝3a²です。
- 求める面積はab/2＋a²。一方、（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²＝4a²＋2abで、求める面積の4倍になります。
- a＋b＝4cmなので、面積は4²÷4＝4cm²です。
第6問｜立方体を切る平面
この大問で学ぶこと
底面上の距離と高さを比例でつなぐ
解き直しの到達点使った条件と結論のつながりを、解説を閉じて説明できること。
（1）
1cm
- Fを底面の原点として、FG・FE方向の距離をx・y、高さをzと表す補助計算です。K（0,2,0）、L（2,0,0）、J（3,3,2）を通る平面では、高さz＝（x＋y−2）/2となります。
- DH上の点はx＝y＝6なので高さ5cm。Dの高さは6cmだからDM＝1cmです。原図でK・Lの切り口を延長し、同じ比例関係を確かめます。
（2）
3cm
- 同じ表し方でG（6,0,0）、N（0,3,0）、J（3,3,2）を通る平面はz＝（2x＋4y−12）/3です。
- AD上ではy＝6、z＝6。18＝2x＋24−12よりx＝3。AからD方向への距離がxなのでAO＝3cmです。
解き直しの進め方
解き直しでは、時間差が対応する道のり、数え分けの状態、図形の共通辺と高さを先に整理しましょう。数値だけを覚えず、同じ条件から式を組み立て直すことを目指します。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、知識・条件や根拠の読み違い・説明の不足に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で根拠・図表・式・答案を組み立て直す | 答えだけでなく、その根拠や判断の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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