1. はじめに：この記事を読んで得られるメリットと実戦力

予習シリーズ5年上第16〜19回は、5年上のもう一つのメインテーマである「速さ」の中核単元です。第16回・第17回で旅人算を、第18回で少し毛色の違う数列と数表を、そして第19回で旅人算の考え方を図形に応用した「図形上の点の移動」を学習します。第16回でつまずくと第17回・第19回にも影響が及ぶため、16回から19回まで一気通貫で理解しておくことが、次の組分けテストの結果を大きく左右します。

【本記事を読むメリット】
この記事を読むことで、旅人算を「向き」ではなく「2人が進んだ距離の和・差」で判断する正しい考え方が身につきます。また、数列・数表を「かたまり」で整理するコツや、図形上の点の移動を旅人算として捉え直す視点も押さえられます。

2. 第16・17回：旅人算とグラフ／いろいろな旅人算

◆第16回：旅人算とグラフ

2人が同じ道を進むとき、2人の間の距離を考えたり、すれ違うまでの時間や追いこすまでの時間を求めたりする問題を旅人算といいます。第16回はこの旅人算の導入回で、5年上のもう一つのメインテーマ「速さ」の中核単元にあたります。ここで絶対に押さえておきたいのが、「反対方向に進む場合は距離の和を考え、同じ方向に進む場合は距離の差を考える」という、向きだけで解き方を決める考え方をしないということです。

状況図とグラフはどちらか一方だけでなく、両方書けるようにしておくのが理想です。複雑な問題になるほどグラフの方が状況を整理しやすくなりますが、グラフを丁寧に書くと時間がかかってしまうこともあるため、問題の複雑さに応じて状況図とグラフを使い分ける柔軟さも大切です。また、登場人物が同じ道を往復する「折り返しの旅人算」も第16回で扱います。図をかいて状況を正しく把握したうえで、2人が進む距離の和・差、速さの和・差のどれに着目するのが適切かを判断していく、という基本的な考え方はここでも変わりません。

◆第17回：いろいろな旅人算

第17回は第16回の応用回にあたり、前回の内容が理解できていないとかなり厳しくなるため、不安があれば先に第16回の復習をしておくことをおすすめします。第17回で登場する円周上の旅人算(池の周りを回る問題)や、3人以上が登場する旅人算も、基本的な考え方は第16回と変わりません。道が円形になっていても、複数の人物が登場しても、「2人(またはそのうちの2人)が進んだ距離の和・差のどちらが分かっているか」に注目すれば、これまでと同じように解き進めることができます。情報が増えて複雑に見える問題ほど、どの2人(または1人)の情報に注目するのが都合よいかを見極めることが重要です。

第17回で特に重要度が高いのが、2人の間の距離の変化をグラフで表した問題です。この手のグラフの問題は入試でもよく出題されるため、グラフの意味をしっかり理解する力が求められます。頭の中でイメージするだけでなく、実際に自分でダイアグラム(横軸に時間、縦軸に位置をとった通常のグラフ)に落とし込む作業が非常に重要です。

3. 第18・19回：数列と数表／図形上の点の移動

◆第18回：数列と数表

第18回では旅人算から少し離れ、数列と数表を学習します。ここまでの旅人算の単元(第16・17回)や、次の第19回の図形上の点の移動と違い独立した単元のため、多少手薄になっても取り返しがつきやすい単元ではありますが、油断できない内容でもあります。セクション1の「いろいろな数列」では、階差数列や、いくつかの数字をひとかたまりとして考える群数列など、解き方の異なるパターンが次々に登場するため、それぞれの解き方をパターンとして覚えていく必要があります。

セクション2の数表の問題では、数列よりもかたまりの区切り方が複雑になり、1個・2個・3個や、1個・3個・5個のようにかたまりの個数自体が変化していくことがあります。ここで重要になるのが、四角数(平方数:1、4、9、16…)や三角数(1、3、6、10…)という代表的な数の並びです。これらに気づけるようになっておくことが、数表の問題を解くための土台になります。また、例題で扱われるパスカルの三角形も、規則性のパターンとして知っておくと役立ちます。すべてを計算だけで解こうとせず、計算で求められる部分は計算し、残りは書き出して数えるという柔軟な姿勢も大切です。

◆第19回：図形上の点の移動

第19回の「図形上の点の移動」は、5年上の最後の単元です。一見新しい単元に見えますが、実際には速さの単元を図形に落とし込んだものであり、速さと図形の複合単元と理解すると取り組みやすくなります。点が1つだけ動く場合は、周期算の考え方が使われることもあります。何秒後にどの位置にいるのかを、頭の中でイメージするのではなく、必ず問題の図に書き込んで整理することが、難しい問題を解けるようになるかどうかの分かれ目です。

最後のセクション「角速度の利用」では、点が円周上を動く場合の速さを、長さではなく角度で表します。考え方は長さのときと変わらず、2点が進む角度の和・差に着目して解いていきます。ここであわせて理解しておきたいのが、直径によってつくられる円周角は90度になるという性質です。これは丸暗記するのではなく、直径の両端と円周上の点を結んでできる2つの二等辺三角形に注目し、それぞれの底角の和が合計で180度になることから直角が導かれる、という理屈から理解しておくとよいでしょう。

4. まとめ・解説動画（タイムスタンプ付き）

第16回から第19回まで、一貫して重要なのは「向きで判断せず、距離(または角度)の和・差に注目する」という姿勢と、「状況を必ず図やグラフに書き込んで整理する」という姿勢です。数列と数表もこの流れの中では一見異質に見えますが、「かたまりに注目して整理する」という点で、根本的な取り組み方は共通しています。この4回分をしっかり復習しておくことが、次の組分けテストの得点に直結します。

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