聖光学院中学校 2024年度 第1回 算数の全問解説

答え17/21

1.375＝11/8を右辺に加えると11/6＋11/8＝77/24。大かっこは3÷(77/24)＝72/77です。9/11で割ると8/7なので、□は8/7−1/3＝17/21です。

答え3840

1〜120の和7260から、3の倍数の和3×40×41÷2＝2460と、5の倍数の和5×24×25÷2＝1500を引きます。両方に入る15の倍数の和15×8×9÷2＝540を戻すと3840です。

答え25日目

全体を600とすると、A、B、Cは1日に10、12、15進めます。AB、BC、CAの3日間で22＋27＋25＝74進み、24日目までに74×8＝592です。残り8は次のABの日に終わります。

答え16384：1

1回で縦横の比は元の1/4になります。7回で正方形なら、初めの縦横比は4を7回かけた16384：1です。

答え4個

8回目の周の長さはア/128＋512×イです。偶数の512×イを足して奇数になるには、ア/128が奇数であることが必要です。このとき7回目までは縦の2倍が偶数なので、8回目が初です。3桁の候補は128、384、640、896の4個です。

答え383個

操作前の縦をv、横をwとすると、周は2v＋2wからv＋4wへ変わり、縦が横の2倍より大きいと周は減ります。操作ごとに縦横の比は1/4になるため、4回目も減る条件はア÷イ＞2×4³＝128、5回目で増える条件はア÷イ＜2×4⁴＝512です。整数は129〜511の383個です。

答え785 cm³

軸OQに垂直な断面を考えます。面ABFEの断面は軸からの距離が10 cmから面の対角線の長さまでの線分です。90度の回転で通過する面積は、半径の二乗が200と100の四分円の差で(200−100)×3.14÷4＝78.5 cm²です。軸方向の10 cmをかけて785 cm³です。

答えA、E、BとH

Oを基準に、右をx、奥をy、上をzとします。1辺を1とすると初めのFは(−1,−1,0)、Gは(0,−1,0)です。操作1〜4は順に(x,y,z)を(z,y,−x)、(x,z,−y)、(−z,y,x)、(x,−z,y)に写します。4回をまとめると(y,−z,−x)となり、Fは(−1,0,1)でA、Gは(−1,0,0)でEの位置です。同じ座標に戻るのはBとHです。

答え392.5 cm²

FGが通る面を操作ごとに求めます。1回目はGを中心とする半径10 cmの四分円。2回目は軸に垂直な面内で半径の二乗が100と200の四分円の差。3回目はFGが軸に平行で、弧の長さ10×2×3.14÷4、高さ10 cmの曲面。4回目は軸上のGを中心とする四分円です。面どうしは境界で交わるだけなので、78.5＋78.5＋157＋78.5＝392.5 cm²です。

答え（0,0）→（13,2600）→（17,3200）→（21,3600）

横が分、縦がmです。最初の9分と次の4分はともに毎分200 mなので、13分まで1本で結びます。次の4分で600 m、その次の4分で400 m進みます。

答え36分

光さんの先行距離は150×3.5＝525 m。聖さんは毎分50 mずつ追い上げ、10.5分で並びます。13分から17分までは2人とも毎分150 mで125 m差、次に毎分50 m差が縮まり19.5分に並びます。速さの12分周期で2人が進む距離はともに1800 mなので、この9分間が12分ずつずれて4回現れます。聖さんは57分でQに着くため4回分で36分です。

答え82と46/47、227と17/29

学さんが光さんと出会う時刻を、聖さんの出発からt分とします。その地点では光さんが150×(t＋3.5) m進んでいます。学さんが先に聖さんと会う条件は、この時点で聖さんが光さんよりQ側にいることです。学さんの速さが240から80に下がると、光さんとの出会いは約34分から44分まで遅くなります。この範囲で聖さんが前にいるのは10.5＋24＝34.5分より後、19.5＋24＝43.5分より前です。学さんの速さは(9000−150×(t＋3.5))÷(t−20)。43.5分で1950÷23.5＝82と46/47、34.5分で3300÷14.5＝227と17/29です。

答え③

2月の増加額はその後より大きく、基準の1月の売り上げは小さいため、増加率も最大です。3月と4月の増加額は同じですが、4月の基準である3月の売り上げの方が大きいので、増加率は4月の方が小さくなります。

答え④

1月を100とすると、順に1.2倍、0.8倍、1.2倍、0.8倍して100、120、96、115.2、92.16です。山は4月より2月が高く、谷は3月より5月が低い形です。

答え②、④

2月に増えた額と3月に減った額は同じですが、減少率の基準の2月の額は100万円より大きいです。3月の売り上げは0より大きいのでイは100未満で、基準の小さいアの方が大きくなります。

答え①、④

毎月1.05倍します。14回では約1.98倍、15回では約2.08倍なので、30回後の2022年7月には2倍以上です。さらに28回では約3.92倍、29回では約4.12倍です。2倍を超えるまで15か月、そこから4倍を超えるまで14か月で、ほぼ等しくなります。

答え②、③

合計1620万円、平均135万円です。平均超えは160、180、200、160万円の4か月で、合計700万円は1620×0.4＝648万円を超えます。7番目は120万円で平均未満です。上下2か月ずつを除いた平均は(1620−200−180−100−80)÷8＝132.5万円で、5番目の130万円を上回ります。