予習シリーズ算数の進め方4年上【四谷大塚の新カリキュラム4上第11～14回】

1. はじめに：この記事を読んで得られるメリットと実戦力

予習シリーズ4年上第11〜14回の算数は、ゴールデンウィーク明けの第11回「三角形の面積」で平面図形をひと区切りしたあと、第12回「間の数を考える問題」、第13回「周期を考える問題」、第14回「等差数列」と、規則にまつわる単元が3週続きます。第12〜14回は、互いに関連性が強く、途中で踏み外すと苦しくなりやすい一方で、「最悪、数えればできる」という共通点があります。

【本記事を読むメリット】
この記事を読むことで、第11回では、三角形の面積の公式を「底辺と高さの組」で理解するコツと、第9回の公式をどう使うかが分かります。第12〜14回では、植木算・周期・等差数列で、どこで計算に頼り、どこで書き出して数えればよいかのバランスがつかめます。

2. 第11回：三角形の面積

この単元は、ゴールデンウィーク明け最初の単元です。総合回をはさんで、その前の第8回が「三角形の角」、第9回が「いろいろな四角形」で、平面図形の単元が3週連続していました。4年生下巻には平面図形の単元がないので、ここまでが平面図形の集大成です。ここまでの内容をまとめて、計算できる状態を目指しましょう。

直角三角形の面積:公式を使わずに解ける

セクション1は、直角三角形の面積の出し方です。実際に解くときは、三角形の面積の公式(底辺×高さ÷2)を使いますが、あえて公式をまだ教えていない状態で解ける、という構成です。直角三角形の反対側に、同じ直角三角形をくっつけると長方形になるので、長方形の面積を出して半分にします。

授業では、公式を使わずに解けるという説明から入ると、時間がかかります。ただ、時間に余裕があって、ご家庭で少し勉強できるようであれば、公式がなくても解けるところから触れてみるのも面白い、と講師は述べています。(進塾講師の見解)

三角形の面積:底辺と高さを毎回確認する

セクション2は、普通の三角形です。反対側にひっくり返して同じ形をくっつけると平行四辺形になります。平行四辺形の面積を出して、÷2をすれば答えになります。これが、そのまま公式の説明になっており、かなりきれいな説明です。

いろいろな図形の面積:第9回の公式が土台

セクション3は、応用が入った内容です。セクション1・2は小学校でやる内容の延長ですが、ここは中学受験っぽい内容なので、気合いを入れて取り組む必要があります。第9回の「いろいろな四角形」の面積の公式は、しっかり覚えておいてください。知っているかどうかで、解き方の幅が変わってきます。

• 例題3(四角形の面積):三角形の面積の公式を知っていれば、2つの三角形に分割して足す方法で解けます。ただ、全体の台形の形が気になる子が多く、台形の面積から三角形の面積を引く方が頭の中で描きやすいでしょう。そのためには台形の面積の公式を覚えている必要があります。「分割して足す」と「全体から引く」の両方ができるようにしておきたいところです。第11回に取り組む前に、第9回の公式を一通り確認しておきましょう。
• 例題4(面積が等しい図形):中学受験の定番で、入試問題でもよく出ます。考え方がとても大事なので、丁寧に説明してあげたいところです。面積が等しい2つの図形があり、片方の面積が求められない場面で、両方に同じ形を付け加えて、より大きい、面積の求めやすい形に変えます。

付け加えるとよい形のところに星印をつける習慣をつけさせる、と講師は述べています。「こういうときは、この形を追加する」というパターンとして覚えるのが重要です。ポイントさえ覚えておけば、そこまで苦戦するような内容ではありませんが、中学受験ではとてもよく出ます。今のうちは大変かもしれませんが、早めにパターンとして身につけられるとよいでしょう。(進塾講師の見解)

3. 第12回：間の数を考える問題

第12回は、タイトルは遠回しですが、内容は植木算という単元です。植木算という名前のついた特殊算ですが、実際に植木算が入試問題に出ることは、ないと思われます。どちらかというと、いろいろな単元の前提知識です。この単元をできるようにするというより、この先の単元をできるようにするために押さえるという感覚で取り組みましょう。

計算は、そんなに複雑になりません。ただ、理屈が定着していない子は、答えが1だけずれることが頻繁にあります。1つ間違えると、「惜しい」と数字だけ書き換えて終わりにしがちですが、それでは意味がありません。この「1つの位置の違い」をしっかり理解することが、この単元の大切なところです。(進塾講師の見解)

まっすぐ植える:両端に植える場合・植えない場合

セクション1は、まっすぐ植える場合で、両端に植える場合です。「木・間・木・間・木」となり、木の方が1つ多いです。セクション2は、両端に植えない場合で、「間・木・間」となり、両端が間なので、間の方が1つ多いです。この2つを、セットで考えます。

• 両端が木なのか、間なのかを見分ける。
• 木と間をセットにして数えたときに、余るのはどちらかを考える。たとえばセクション1は、木と間で1セットにすると、最後に木が余ります。セクション2は、間と木で1セットにすると、最後に間が余ります。

この関係は、少ない本数を書きながら理解を深めていくことが大切です。たまに、「答えはいくつ」と聞かれて、20、違う、21、じゃあ19、と片っ端から答えを言って当てようとする子がいます。そういう子は、この単元を理解できないまま、分かった気になって終わることが多いので、注意が必要です。(進塾講師の見解)

丸く植える場合:木の数と間の数は同じ

セクション3は、丸く植える場合です。池の周りや校庭のトラックなどに、木や釘を植える問題のパターンです。この場合は木の数と間の数が同じになります。2本、3本のときに、間の数と木の数がどのような関係かを考えれば、普通に解ける問題です。ここまでが植木算の根本的な部分で、それほど難しくはありません。

植木算の利用:ここが主軸

この単元が、入試にそっくり出るわけではなく、いろいろなものに派生していきます。具体的にどこで使われるかが、セクション4の「植木算の利用」で、ここが最も大事な主軸です。

例題5は、よく見る問題で、テープにのりしろがあり、のりしろの分だけ長さが短くなる、というものです。この問題も、植木算の要素を含んでいます。例題5のような問題は、模試や入試の一番最初の小問で出てもおかしくないので、本数や長さが大きくなっても、スムーズに解けるようにしたいところです。(進塾講師の見解)

4. 第13回：周期を考える問題

第13回は、第12回の続きで、そこから派生した単元です。次の第14回「等差数列」へもつながるので、第12〜14回は関連性の強い単元が続きます。3つの単元に共通して言えるのは、最悪、数えればできることです。

周期をとらえる:塊に分ける

セクション1は、数字や記号が並んでいて、その繰り返しの部分を周期としてとらえる内容です。最初は周期を見つけるのに困る子もたまにいますが、難しいお話ではありません。周期を塊に分けるのが、この内容の核です。

たとえば、例題1で「75個並べました」と言われたら、まず塊を見つけ、75個までに塊が何個あるかを計算します。これだけです。できるだけ計算で出し、計算で出せないときは、数えていきます。作業をしながら、「これは結局、こういう計算だ」と気づけばよい、というスタンスです。最初から計算式で教えるのではなく、作業をしながら計算式を思いつく工程で、理解を深めましょう。

図形の周期:固定観念から離れて、見方を変える

セクション2は、図形の周期です。セクション1のような記号や数の並びから周期を見つけるのは、比較的できる子が多いのですが、図形の周期になった瞬間にパタッと止まる子が結構います。丁寧にやってあげる必要があります。

止まってしまう子の特徴は、たとえば例題3で、「正方形」という見方から、ほかの視点で見ることができないことです。この図形は、いろいろな見方ができます。たとえば、正方形の左側を1本取ったら、この形になる。あるいは、上だけ取ったら、コップのような形になる。このように見ることができない子は、正方形の形から1本外したり、1本増やしたりするイメージが持てなくなり、何をしてよいか分からなくなります。解説では、正方形に2本の線が入った状態が周期ですが、右側の1本だけを取り外して考える、という思考ができない子が結構多いです。

講師は、これは、パズルなどをこれまで経験しているかどうかの差だと述べています。最初のうちは、マッチ棒を使って考えてみる方が、定着につながります。いろいろな視点で見ることは、算数でとても大切で、それが試される部分なので、マッチ棒などで表現しながら、周期に自分で気づけるよう練習するとよいでしょう。(進塾講師の見解)

曜日の周期:暦算と「小の月」

セクション3は、曜日の周期で、暦算のお話です。日数については、前回扱った「間の数」の1増える・1減るの関係を意識するのに加えて、曜日は月火水木金土日の7日で周期なので、7個で周期が何個分あるかを考えます。この1増える・1減る関係が、まわりくどくて、苦戦する子が結構います。

数の操作と周期:循環小数と約束記号

セクション4は、数の操作と周期です。循環小数の小数第○位を求める問題は、中学受験の数の周期で定番なので、やり方をしっかり覚えておく必要があります。その理屈を理解することが、非常に大事です。

また、ここの問題は約束記号で表現されています。最初は何のことか分からない子が多いので、ちゃんと説明しながら理解を深めることが大切です。この内容は、次の等差数列につながります。丁寧に、書き出しながら取り組みましょう。(進塾講師の見解)

5. 第14回：等差数列

第14回は、第12回の間の数を考える問題の要素を若干含みますが、ほぼ独立した単元です。ただ、第12回、第13回、第14回と、規則にまつわる内容が続いてきました。この規則の単元は、基本的には、数えれば最悪答えが出せます。困ったときは数える、という習慣がついているでしょうか。計算で出せることが大事ですが、どうしても難しいとき、入試や模試でぶつかったときに、何としても点数を取るために、書き出して答えを出す姿勢も大切です。一方で、全部数えてしまうのもよくないので、このバランスを取りながらやっていくべき単元です。(進塾講師の見解)

等差数列とは:□番目の数

セクション1は、等差数列の概念から説明が入ります。「公差」という言葉が太字になっていますが、知っていても知らなくても構いません。ただ、どういう計算で出せるかを知っておくことは、非常に大事です。130ページの下に、等差数列の□番目の数の公式が書かれています。公式として覚えてしまえば、問題はすぐ解けますが、せっかく植木算を習っているので、植木算的な考え方を使って、公式として覚えなくても計算で出せる状態を作るのが理想です。

等差数列の和:同じ数列をひっくり返して足す

セクション2は、等差数列の和です。132ページに公式が書かれているので、公式を覚えて数字を当てはめれば解けます。ただ、なぜそうなるのかという理屈は、それほど難しくないので、しっかり理解しておきましょう。132ページの上の方に、同じ数列をひっくり返して書いて足し算すると、同じ数がたくさん出てくる、という説明があります。

また、132ページの例(3、10、17、24、31)を、棒グラフにしたり、碁石に並べたりすると、台形の形になります。つまり、台形の面積を出す公式とかなり似ています。そこをイメージしておくと、忘れにくいでしょう。(進塾講師の見解)

奇数を並べた数列:平方数と三角数

セクション3は、奇数を並べた数列です。奇数の並びは結構よく出るので、奇数を足し算するといくつになるかを覚えておけるとよいでしょう。133ページの真ん中より少し下に、公式が2つ書かれています。

• □番目の奇数は、2×□−1:偶数より1個少ないので、当たり前と言えば当たり前です。公式で覚えるより、感覚でできてほしい内容です。
• □番目までの奇数の和は、□×□:平方数になります。1+3=4(2×2)、1+3+5=9(3×3)です。奇数を1から順に足していくと、「何か×何か」になるイメージを持つことが非常に大事です。

講師は、この週の次は組分けテストで、規則にまつわる単元が続いてきたので、「根性がある子が高得点を取る戦い」になると述べています。コツコツ頑張って、高得点を目指しましょう。(進塾講師の見解)

6. まとめ・解説動画（タイムスタンプ付き）

第11〜14回の算数は、三角形の面積(第11回)と、規則の3単元(第12〜14回)です。第11回は、底辺と高さの組を毎回確認することと、第9回の公式の活用、面積が等しい図形のパターンが重要です。第12〜14回は、植木算の「+1」、周期を塊で数えること、等差数列と四角数・三角数を押さえ、困ったときは書き出して数える姿勢を持ちましょう。

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