1. はじめに：5年生算数の大きな壁となる4単元

5年生上巻の第11回〜第14回は、「場合の数（並べ方・組み合わせ）」「速さとグラフ」「水量の変化」という、中学入試において合否を分ける超重要単元が連続して登場します。

これまでの算数は「公式に数字を当てはめれば答えが出る」という計算力の延長線上にある問題が主でしたが、ここから先は「自分で条件を整理し、図やグラフを書いて視覚化する力」が求められます。特に第13回・第14回で学ぶ「グラフの読み取りと作図」は、第16回以降に待ち受けている最重要単元「旅人算」を理解するための不可欠な下地となります。
本記事では、多くの生徒がつまずく「速さの平均の罠」や「水槽を傾ける問題」について、なぜそう解くのかという根本的な理屈から徹底的に解説します。

2. 【第11・12回】場合の数（並べ方・組み合わせ）の極意

第11回では「並べ方（順列）」、第12回では「組み合わせ」を学習します。ここで絶対にやってはいけないのが、「最初から掛け算や割り算の計算だけで答えを出そうとすること」です。

樹形図は「計算で楽をするための設計図」

場合の数が苦手な生徒の9割は、「樹形図を書くのを面倒くさがる」という共通点を持っています。和の法則（足し算）や積の法則（掛け算）を最初から公式として暗記するのではなく、「樹形図を地道に書き進める中で、『あ、これって同じ枝の分かれ方が続くから、掛け算で一気に出せるな』と自ら気づくこと」が最も重要です。樹形図を書かずに計算式だけで解こうとすると、条件が少し複雑になった（「0」を含むカードの問題など）瞬間に、何を掛けているのか分からなくなり必ず間違えます。

「並べる」と「選ぶ」の決定的な違い

「A, B, Cの3人から2人を選ぶ（組み合わせ）」のと、「3人から委員長と副委員長を選ぶ（並べ方）」の違いを明確にしましょう。
単に選ぶだけの組み合わせの場合、樹形図を書く際に「A-B」と「B-A」は同じペアになるため、重複して数えてはいけません。これを防ぐために、「アルファベット順（またはあいうえお順）に進み、絶対に左（前）に戻らない樹形図」を書くルールを徹底してください。例えば、Aの枝からはBとCが出ますが、Bの枝からはCしか出ない（Aには戻らない）、という書き方です。

3. 【第12回】倍数判定法と試合数の計算（リーグ・トーナメント）

カードを並べて数を作る問題などで必須となるのが「倍数の判定法」です。そして、試合数の計算も定番の知識問題です。

倍数の判定方法をグループ化して使いこなす

ただの丸暗記ではなく、以下のグループに分けて覚えると頭の中で整理しやすくなります。

• 2の仲間グループ：
  2の倍数（下1桁が2の倍数）、4の倍数（下2桁が4の倍数）、8の倍数（下3桁が8の倍数）※桁数がどんどん増えていく法則です。
• 3の仲間グループ：
  3の倍数（各位の数字の和が3の倍数）、9の倍数（各位の数字の和が9の倍数）
• 複合ルール（掛け算の組み合わせ）：
  6の倍数（2の倍数の条件と、3の倍数の条件を両方とも満たすもの）

リーグ戦とトーナメント戦の必勝法

試合数の計算は、仕組みを理解した上でパターンとして覚えてしまいましょう。
総当たり戦（リーグ戦）は、参加する全チームの中から試合をする「2チーム」を選ぶため、先述した「組み合わせの計算（戻らない樹形図）」と全く同じ解き方になります。
一方、勝ち抜き戦（トーナメント戦）は、1試合ごとに必ず1チームが敗退して消えていき、最後に優勝する1チームだけが残るという仕組みです。つまり、「負けるチームの数＝試合数」となるため、計算式は常に「参加チーム数 － 1」という極めてシンプルなものになります。

4. 【第13回】速さとグラフ（平均の速さの罠と面積図）

第13回の速さは、4年生で学習した基本の3用法（はじき）の復習を兼ねながら、グラフや複雑な状況への落とし込みを行っていきます。

全員が引っかかる「平均の速さ」の落とし穴

途中で速さが変わる問題は「面積図（つるかめ算）」

「家から駅まで行くのに、最初は分速60mで歩き、途中から分速80mで走ったら、合計で15分かかりました」といったように、途中で速さが変わる問題は「速さのつるかめ算」と呼ばれます。
これを解く最強のツールが「面積図」です。縦軸に「速さ」、横軸に「時間」をとって長方形を描くと、その長方形の面積が「距離（速さ×時間）」を表すことになります。2つの異なる速さの長方形を並べて描き、欠けている部分の面積から逆算していく手法は、今後の入試算数において必須のテクニックとなります。

5. 【第14回】水量の変化（傾けた水槽の「底面」の正体）

第14回の水量の変化は、グラフの折れ曲がっている点（変曲点）から「どこまで水が入ったのか」を読み取り、図形に情報を書き込んでいく情報整理の単元です。

立体ではなく「平面図（断面図）」に情報を書き込む

水槽の中に仕切りがあるような複雑な問題において、テキストに描かれている斜めから見た立体図のまま考えようとすると、頭の中がパニックになります。必ず、水槽を真正面から見た「長方形の平面図（断面図）」を自分のノートに書き写してください。そして、グラフから読み取った「ここからここまでは〇分かかった」「その時の高さは〇cmだ」という情報を、その平面図の中に直接書き込んでいくことで、計算すべき面積（体積）が驚くほどクリアに見えてきます。

水槽を傾ける問題の最大のポイント

6. まとめ・解説動画（タイムスタンプ付き）

この4回分の学習は、今後の算数の成績を大きく左右する重要な土台作りです。場合の数では「面倒くさがらずにルールに沿って樹形図を書くこと」、速さや水量では「平均の速さの罠に気づき、状況を面積図や平面図に書いて整理すること」が共通のテーマとなっています。頭の中だけで計算しようとする癖を捨て、手を動かして図を書く習慣を、この5年生上巻の時期に必ず身につけておきましょう。

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