2025年4月26日
SUSUMU JUKU / 2025 EXAM REVIEW
答えの先に、解ける理由を。
本郷中学校・2025年度 第1回 算数
計算・小問に続き、立体の重なり、並べ替えの周期、展開図からの切断を扱います。グラフの折れ目の時刻や切り取る側を、原問題の指定に戻って確認しましょう。
第1問｜計算と逆算
この大問で学ぶこと
まとまりの値から、式をほどく
複雑な式でも、途中で0になるまとまりや、先に確定できるかっこを見つけると計算が短くなります。逆算では最後の操作から順に戻し、元の式へ代入するところまでを一組にします。
解くときの着眼点：まとまりの値を先に求め、途中で0になる部分や逆算の順序を見つけます。
(1)
答え：5と1/4（5.25）
- 0.875÷（7/20）＝2.5なので、丸かっこの中は0になります。このまとまりに掛け算・割り算を続けても0です。
- 残りは9.5－4.25＝5.25です。
間違えやすい点：掛け算の前に、かっこの値を確かめます。
(2)
答え：3と4/5（3.8）
- 中かっこは5－（7÷5＋3）＝0.6。0.6÷（9－2×□）×7＝3なので、9－2×□＝0.6×7÷3＝1.4です。
- 2×□＝9－1.4＝7.6、□＝3.8。元の式に代入して3になるか確かめます。
間違えやすい点：引く数を求める逆算では、引かれる数から結果を引きます。
第2問｜小問集合
この大問で学ぶこと
設問ごとに、基準となる量を選ぶ
食塩量、仕事全体、配る個数、円が通る領域、円の角度では、使う基準がそれぞれ違います。公式へ数字を入れる前に、変わらないものや数える対象を整理して方針を決めます。
解くときの着眼点：食塩量・仕事量・個数・回転・円の角度を、それぞれ変わらない量へ戻します。
(1)
答え：75g
- 初めの食塩は400×0.05＝20g。蒸発後も食塩は20gなので、16％のBの重さは20÷0.16＝125gです。
- 10％にした後の重さは20÷0.10＝200g。加える水は200－125＝75gです。
間違えやすい点：蒸発したのは水で、食塩の量は変わりません。
(2)
答え：1と2/5時間（1.4時間）
- 全体の仕事量を6台×48分＝288台・分とします。初めの4台×30分で120台・分を終えます。
- 残り168台・分を2台で処理するので84分。84÷60＝1.4時間です。
間違えやすい点：84分を0.84時間としないようにします。
(3)
答え：55通り
- Aの奇数個数を1、3、5、…、19と固定します。Aが1個なら、残り20個をB・Cの正の奇数に分ける方法は（1,19）から（19,1）まで10通りです。
- Aが3個なら9通り、その後8、7、…、1通りと減ります。合計（10＋1）×10÷2＝55通りです。
間違えやすい点：A・B・Cは区別し、0個を含めません。
(4)
答え：8本
- 10mの管1本から2mの管を5本作るには4回切ります。1回10分、切る作業の間に3分休むので、4回目が終わるのは49分後です。
- 次の管を切り終えるのは62分、75分、88分。90分以内では、最初の5本に次の管から切り離した3本を加え、8本です。
間違えやすい点：2本目はまだ切り終えていないため、残った長い管を2mの完成品に数えません。
(5)
答え：52.56cm²
- 台形の周は4＋5＋6＋5＝20cm。半径1cmの円が辺に沿って進むと、幅2cmの帯ができ、面積は20×2＝40cm²です。
- 頂点を回る部分は、半径2cmのおうぎ形を集めた1円分です。4×3.14＝12.56cm²を加え、52.56cm²です。
間違えやすい点：円の中心の軌跡ではなく、円全体が通った領域を求めます。
(6)
答え：3cm
- 円周角ACBが60度なので、対応する中心角AOBは120度です。中心から弦ABへ下ろした垂線OHは二等辺三角形AOBを二等分します。
- 三角形OHBは30度・60度・90度の直角三角形です。30度の向かいのOHは斜辺OB＝6cmの半分で3cmです。
間違えやすい点：中心角と円周角の2倍の関係を使う弧を確かめます。
第3問｜重なる立体と体積グラフ
この大問で学ぶこと
グラフの折れ目を、立体の通過へ戻す
体積の変化を、立体の面どうしがすれ違う時刻と結びつけます。重なりが増える区間と減る区間を分け、断面積と速さの関係から辺の長さを求めます。グラフと立体の位置を行き来する力が要点です。
解くときの着眼点：折れ目は、大きい立方体の前面・後面が小さい立方体の面を通る時刻です。
(1)
答え：6cm
- 初めの4秒間は1秒に1cm進んで体積が64cm³増えます。小さい立方体の断面積は64÷4＝16cm²なので、1辺は4cmです。
- 4秒後に小さい立方体の並びの境目へ達します。6秒後には大きい立方体の後ろ側が最初の小立方体から抜け始めるため、この6秒に進む6cmが大きい立方体の1辺です。
間違えやすい点：8秒の位置まで進む距離を、そのまま大きい立方体の1辺としません。
(2)
答え：128cm³
- 小立方体の1辺は4cm、大立方体は6cmです。図の奥行き方向にそろう部分の断面積は、右側の区間で16cm²、左側の区間で32cm²になります。
- 8秒後の重なりは160cm³。次の折れ目は10秒後で、その間は毎秒16cm³ずつ減るので160－16×2＝128cm³です。
| 時刻（秒後） | 重なった体積（cm³） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 4 | 64 |
| 6 | 128 |
| 8 | 160 |
| 10 | 128 |
| 14 | 0 |
間違えやすい点：指定は8秒の折れ目ではなく、8秒より後の折れ目です。
(3)
答え：8と1/4秒後（8.25秒後）
- 最大の重なりは8秒後の160cm³です。8秒後から10秒後までは毎秒16cm³ずつ減ります。
- 2回目に156cm³になるのは最大値の後なので、8＋（160－156）÷16＝8.25秒後です。
間違えやすい点：増える途中の1回目ではなく、減る途中の2回目を求めます。
第4問｜並べ替えの周期
この大問で学ぶこと
数字ごとの動きを、周期へまとめる
並べ替え全体を何度も実行する代わりに、1つの数字がどの位置を巡るかを調べます。別々の位置の巡回が同時に戻る時刻は、周期の最小公倍数で整理できます。
解くときの着眼点：1個の数字がどの場所へ移るかをたどり、独立した周期の最小公倍数を求めます。
ア
答え：3
- 1番目→2番目→4番目→1番目という3個の輪ができます。3番目はその場にとどまります。
- 動く3個が元へ戻る最初は3回後です。
間違えやすい点：1回の入れ替えを終えてから、次の操作へ進みます。
イ
答え：6
- 1番目と3番目は2回で元へ戻ります。2番目→5番目→4番目→2番目の組は3回で戻ります。
- 全体が同時に元へ戻る最初の回数は2と3の最小公倍数で6回です。
間違えやすい点：各輪の長さを足すのではなく、同時に戻る回数を求めます。
ウ
答え：30
- 位置の輪は、1→8→1の2個、2→4→7→2の3個、3→9→5→10→6→3の5個です。
- 2、3、5の最小公倍数は30。これが最初に全部が元へ戻る回数です。
間違えやすい点：10個すべてが、重複なくいずれかの輪に入るか確かめます。
第5問｜展開図と2回の平面切断
この大問で学ぶこと
展開図を組み立てて、切断する側を決める
展開図では離れて見える点が、立体に戻すと同じ頂点や辺に対応します。切断面の通り方を整理したうえで、残す立体と除く立体を分け、2回目の切断へ条件を引き継ぎます。
解くときの着眼点：展開図で離れた同じ頂点・辺を立体へ戻します。2回目の切断はEF・HGを二等分する面です。
(1)
答え：Gから上の張り出し右辺の中点へ、右端の正方形の上辺中点から右下頂点へ線を引く
- 上の張り出しの右辺は、立体では辺DHです。その中点をNと置きます。GとNを結ぶ切り口の辺を加えます。
- 右端の正方形にも同じNと頂点Aが現れます。上辺中点Nと右下のAを結びます。元からある2本と合わせると、立体ではA→M→G→N→Aと閉じます。
間違えやすい点：展開図で線を延長するだけではなく、折ったときに同じ点へつながるか確認します。
(2)
答え：オ：ひし形
- 切断面の頂点はA、M、G、Nです。各辺は立方体の面で、長さ2cmと1cmを直角にはさむ三角形の斜辺になっています。
- 4辺はすべて等しくなります。一方、隣り合う辺は直角ではないので正方形ではなく、ひし形です。
間違えやすい点：ひし形と正方形を区別するには、辺だけでなく角も確認します。
(3)
答え：2.5cm³
- QはAMの中点、RはEFの中点、SはHGの中点です。EFとHGは平行なので、面QRSは立方体をEF方向にちょうど半分に切る面です。E側の直方体は1×2×2＝4cm³です。
- この直方体から、最初の切断面より上側を引きます。最初の切断面はA・M・Gを通るので、EF方向に2cm進むと高さが1cm下がり、EH方向に2cm進んでも1cm下がります。
- 上側は2つの三角柱に分けられます。EH方向に下がる分は、底面が2×1÷2の直角三角形で、厚さ1cmの三角柱：体積1cm³です。EF方向の残る下がり分は、底面が1×0.5÷2、奥行き2cmの三角柱：体積0.5cm³です。
- したがってE側に残る体積は4－1－0.5＝2.5cm³です。
間違えやすい点：立体P全体4cm³をそのまま半分にはできません。2回目の面は体積を二等分する面ではありません。
解き直しの進め方
解き終えたら、各大問の「解き直しの到達点」を使って確認しましょう。答えだけを直す前に、条件を取り違えたのか、最初の一手が決まらなかったのか、計算で崩れたのかを分けます。解説を閉じて途中式を再現し、日を空けて同じ考え方を使えるか確かめてください。
| 段階 | 取り組むこと | 確認すること |
|---|---|---|
| 1｜原因を分ける | 間違えた問題を、条件の読み違い・着眼点・計算に分ける | どこで手が止まったかを言葉にする |
| 2｜解説を閉じる | 自分で図や式を作り直す | 同じ答えが出るだけでなく、式の理由を説明できるか |
| 3｜時間を空ける | 日を改め、類題と合わせて再挑戦する | 条件が変わっても使える考え方になったか |
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